Riassunto:
Wang Hong, vincitore della Medaglia Fields 2026, ha vinto la più alta onorificenza in matematica con la dimostrazione della congettura dell'insieme tridimensionale di Kaketani. Questo problema geometrico, durato un secolo, ha compiuto nelle sue mani un salto storico dalle due alle tre dimensioni ed è diventato il progresso matematico più significativo degli ultimi dieci anni.
Solo tre mesi dopo, OpenAI ha fatto un grande passo avanti con questa ricerca: non solo ha risolto la più difficile congettura della funzione massima di Kakeya tridimensionale, ma ha anche dimostrato per la prima volta che la dimensione di Hausdorff dell'insieme Kakeya quadridimensionale è pari a 4, spingendo il precedente miglior record di esseri umani bloccati a 3.059 dimensioni su di una dimensione, raggiungendo il limite superiore teorico.
Tuttavia, questa è solo la punta dell'iceberg nella sfida di OpenAI al mondo matematico.
Questa volta, OpenAI ha pubblicato 722 manoscritti matematici in un colpo solo, classificati in 372 famiglie di risultati, che coprono aree ben oltre il problema Kakeya, tra cui l'ipotesi quasi-Riemann, il decimo problema di Hilbert, i problemi legati alla costante catalana e dozzine di altri problemi classici che hanno turbato la comunità accademica per molti anni. Tutti i contenuti derivano da un modello interno di cui non è stato nemmeno nominato. Ogni problema richiede in media solo 3 ore.
OpenAI ha pubblicato questi manoscritti su GitHub e, entro 24 ore dalla messa online, ha ricevuto 10.000 stelle.
L'Association for Human Mathematics ha affermato: "I matematici non hanno chiesto a OpenAI di svolgere questo lavoro". Ha anche affermato che questi manoscritti non erano verificati ed erano solo un altro "performance marketing" di OpenAI.
Che cos'è esattamente il manoscritto n. 074?
L'origine del problema di Kakeya è una domanda posta dal matematico giapponese Soichi Kaketani nel 1917: supponiamo di avere un ago sottile, posizionarlo su una superficie piana e girarlo facendo un cerchio (o lasciarlo puntare in tutte le direzioni). Qual è l'area più piccola che l'ago può spazzare?
Intuitivamente parlando, l'ago ha una lunghezza, quindi deve spazzare via un disco quando ruota una volta, giusto?
Non è così. Successivamente, il matematico Besikovich dimostrò che finché il metodo di rotazione è sufficientemente "intelligente", l'area spazzata dall'ago può essere arbitrariamente piccola, persino più piccola di qualsiasi numero positivo specificato.
Su questa base, i matematici hanno costruito un insieme con "area zero" che contiene ancora segmenti di linea in ciascuna direzione. Questo tipo di set è chiamato "set Besicovitch" o "set Kaketani".
Poiché l'area può essere piccola quanto 0, il problema non finisce? Ma no.
Perché "l'area è zero" significa solo che questo insieme non ha spessore e non occupa spazio, ma non può esprimere quanto sia "complesso".
L'area matematica di una linea e di un gomitolo di linee possono essere entrambe 0, ma ovviamente le due non sono la stessa cosa.
Quindi i matematici cambiarono il loro modo di pensare. Sebbene questo insieme non abbia area, è come una linea o una superficie, o è più vicino a un oggetto solido? Quindi ci sono "dimensioni".
Una linea è monodimensionale, un pezzo di carta è bidimensionale e una scatola è tridimensionale. Ma per alcuni insiemi particolarmente "rarsi", la dimensione può anche essere un decimale, come le dimensioni 2,5.
La "dimensione Hausdorff" è uno dei righelli più comunemente usati. La sua logica è quella di utilizzare palline molto piccole per coprire un set. Quante palline sono necessarie? Se il raggio della sfera viene ridotto della metà e il numero di sfere richieste viene raddoppiato, l'insieme è unidimensionale, come una linea; se è quadruplicato è bidimensionale, come un piano; se è otto volte è tridimensionale, come un corpo solido. Nel mezzo c'è la dimensione decimale.
Nel piano bidimensionale, i matematici hanno dimostrato già nel 1971 che qualsiasi insieme contenente segmenti di linea in tutte le direzioni deve avere una dimensione pari a 2, anche se la sua area è 0.
Che dire dello spazio tridimensionale? E la quarta dimensione? E le dimensioni superiori? I matematici ipotizzano: nello spazio n-dimensionale, finché un insieme contiene segmenti di linea di lunghezza unitaria in tutte le direzioni, la sua dimensione di Hausdorff deve essere uguale a n, anche se il suo volume è 0. Questa è la famosa "Congettura dell'insieme di Kakeya".
Nel 2026, Wang Hong ha vinto la medaglia Fields. Il motivo ufficiale del premio è stato il suo progresso significativo nel problema del limite di Fourier e nel problema tridimensionale di Kakeya. La più importante e conosciuta di queste è la congettura dell’insieme tridimensionale di Kakeya menzionata in precedenza.
I due problemi risolti da OpenAI questa volta sono le "versioni potenziate" di Wang Hong.
La prima è la congettura della funzione massima di Kakeya tridimensionale.
Il "massimo" nel nome si riferisce alla pratica di "scegliere il valore massimo".
Supponiamo che nello spazio ci sia una nebbia con densità irregolare. Prendi una cannuccia sottile e succhiala in diverse posizioni. La concentrazione media della nebbia contenuta nella paglia sarà diversa.
Prova tutte le possibili interpolazioni in questa direzione e registra solo quella con la concentrazione più alta. Questo "valore più alto" è il "valore massimo" in questa direzione.
Cambia di nuovo la direzione, ripeti la stessa cosa e ottieni un altro "valore più alto". Raccogliendo i valori più alti in tutte le direzioni si ottiene una relazione corrispondente tra "direzione e valore più alto". I matematici la chiamano "funzione massima Kakeya".
La seconda è la congettura della dimensione quadridimensionale di Hausdorff, ovvero sposta la conclusione precedente da tre dimensioni a quattro dimensioni.
La dimensione di Kakeya ambientata nello spazio quadridimensionale deve essere 4. Il miglior risultato attuale degli esseri umani in quattro dimensioni è 3.059 ottenuto utilizzando la dimostrazione "planebrush" nel 2021. In altre parole, si può solo dimostrare che ha almeno 3.059 dimensioni. Da 3.059 a 4 equivale ad un aumento diretto di una dimensione.
Dal bidimensionale al tridimensionale, la difficoltà del problema è quasi un "cambiamento qualitativo"; dal tridimensionale al quadridimensionale, è anche un cambiamento qualitativo. Perché maggiore è la dimensionalità, maggiori sono i modi in cui questi "tubi" possono intersecarsi e impilarsi, e più complesse sono le situazioni geometriche che i matematici devono affrontare.
Pertanto, se i matematici riuscissero a completare da soli queste due congetture, ci vorrebbero almeno diversi anni.
Tuttavia, secondo la stessa dichiarazione di OpenAI, l'intero processo è abbastanza "semplice".
Utilizza un modello interno inedito e una parola tempestiva e lascia che sia un Agente a eseguirlo. In media, ogni risultato consuma solo circa 3 ore di capacità di pensiero di ChatGPT Pro.
Durante l'intero processo di valutazione, sono state inserite nel modello circa 4.000 domande. Dopo la fusione e lo screening, sono rimasti gli attuali 722 manoscritti.
OpenAI supera la medaglia Fields?
Se le cannucce non sono molto impilate, l'area totale che occupano sarà naturalmente insignificante. Pertanto, una volta stabilita la congettura della funzione massima, è possibile derivare direttamente la versione impostata della congettura.
Pertanto, alcuni netizen hanno affermato che l'IA ha impiegato solo tre ore per superare la medaglia Fields. Tuttavia, questo è in realtà una sorta di pregiudizio. Non solo disprezza la Medaglia Fields, ma non riesce nemmeno a comprendere i risultati della ricerca di Wang Hong.
Perché l'argomentazione di OpenAI non parte da zero. La famiglia di risultati n. 074 affermava chiaramente che era basata sui risultati della ricerca di Wang Hong e non era stata derivata dal nulla.
Ciò è anche in linea con la norma della ricerca matematica. Quasi ogni importante passo avanti nella storia umana poggia sulle spalle dei predecessori, e la stessa dimostrazione di Wang Hong si basa anche sul suo precedente lavoro sugli "insiemi di Kakeya appiccicosi" e sui risultati di molti matematici negli ultimi trent'anni.
La cosa ancora più casuale è che già nel marzo 2025, il matematico del MIT Larry Guth aveva previsto in un'intervista che passare da due a tre dimensioni sarebbe stato il passo più difficile e che la dimostrazione di Wang Hong sarebbe stata probabilmente trasformata e utilizzata per problemi di dimensione superiore.
Quindi, se la conclusione quadridimensionale di OpenAI è vera, in un certo senso, sta anche convalidando il giudizio del matematico di allora.
Come dovremmo interpretare la frase "più della medaglia Fields"?
In primo luogo, la Medaglia Fields premia un matematico per il suo contributo complessivo, non solo per un singolo articolo. È solo che nella Medaglia Fields assegnata a Wang Hong, la congettura tridimensionale del set Kaketani è davvero il risultato principale.
In secondo luogo, se il manoscritto n. 074 di OpenAI è effettivamente vero, allora in termini di singola dimensione della "difficoltà" matematica è davvero più difficile della domanda per la quale Wang Hong ha vinto il premio: perché la versione della funzione massima tridimensionale contiene la versione dell'insieme, e il problema della dimensione di Hausdorff quadridimensionale è un ulteriore obiettivo dell'umanità dopo tre dimensioni che non è mai stato risolto prima.
Ma c'è una parola chiave in questa frase, ed è "se".
Il manoscritto n. 074 attualmente non contiene prove formali di Lean e non è stato sottoposto a revisione paritaria. Fino a quando non verrà verificato, si tratterà semplicemente di "un documento che afferma di risolvere un problema più difficile" piuttosto che "un problema più difficile che è stato dimostrato". Nella storia della matematica sono molte le “dimostrazioni” annunciate e poi ritirate.
Al momento siamo ancora fermi sulla parola "se".
La medaglia Fields di Wang Hong, dopo mesi di test e revisioni da parte dell'intera comunità accademica, è ora diventata la pietra angolare di questo campo. Indipendentemente dal fatto che il manoscritto OpenAI venga definitivamente consolidato o meno, il suo punto di partenza è inseparabile da questa pietra angolare.
La verifica è la più difficile
La vera difficoltà è la verifica. Il processo di verifica della matematica è uno degli aspetti più laboriosi dell’intera ricerca matematica.
Prendi Wang Hong come esempio.
Nel febbraio 2025, ha pubblicato la dimostrazione della congettura dell'insieme tridimensionale di Kakeya sul sito web accademico di prestampa arXiv, lungo circa 127 pagine.
Una volta rilasciato, il documento non viene immediatamente riconosciuto come "corretto". L'articolo è stato sottoposto a ripetuti autoesame da parte dell'autore e a lunghe analisi da parte di noti studiosi come Terence Tao. La rivista Quanta l'ha definita una prova "irripetibile una volta ogni secolo".
Il lavoro di verifica è durato dal febbraio 2025 fino all'annuncio della Medaglia Fields nel luglio 2026, durando quasi un anno e mezzo. Ancora oggi molti matematici non hanno assorbito e digerito completamente le nuove idee contenute in questa serie di dimostrazioni.
Ciò significa che una dimostrazione di oltre 100 pagine scritta da un eminente matematico dovrà essere sottoposta a una revisione collettiva per più di un anno prima di essere ampiamente riconosciuta.
Adesso sono arrivati 722 articoli contemporaneamente.
Non solo, molti dei 722 manoscritti rilasciati da OpenAI sono argomenti lunghi centinaia di pagine. Se ogni articolo richiede la lettura di un esperto per diversi mesi, potrebbero esserci solo poche dozzine di esperti al mondo in grado di comprendere uno degli articoli, o anche meno.
Inoltre, questi esperti hanno ciascuno la propria ricerca ed è impossibile mettere da parte tutto il lavoro a portata di mano per "agire come revisore" per OpenAI.
Ciò che è ancora più problematico è che un portavoce di OpenAI ha ammesso che molti di questi risultati non sono pienamente compresi dagli stessi matematici di OpenAI, compreso il manoscritto n. 074 sopra menzionato.
Quindi le reazioni della comunità matematica sono più scettiche.
Questo tipo di preoccupazione non è nuova al giorno d'oggi.
L'8 settembre 2026, OpenAI ha annunciato che il suo modello interno aveva risolto il problema del millennio dell'equazione di Navier-Stokes. Si dice che per i calcoli paralleli siano stati utilizzati circa 10.000 agenti.
Tuttavia, il matematico della Brown University Gómez-Serrano ha affermato in una conferenza ad Harvard che la relativa dimostrazione di 166 pagine è "incomprensibile".
L'11 settembre, 25 vincitori della medaglia Fields (tra cui Terence Teru e altri) hanno rilasciato congiuntamente una dichiarazione pubblica "Il grave spostamento dell'intelligenza artificiale in matematica", criticando le società di intelligenza artificiale per aver utilizzato il "superamento di problemi famosi" come strumento di marketing per dimostrare le capacità del modello e rilasciandolo frettolosamente. Non solo non ha promosso lo sviluppo della matematica, ma ha anche avuto un impatto negativo sulla comunità dei matematici.
Il 21 settembre OpenAI ha annunciato la creazione di un gruppo consultivo indipendente composto da matematici (AGMAI, con sede presso l'Institute for Advanced Study di Princeton). Il 29 settembre, il gruppo consultivo ha dichiarato che, al momento della pubblicazione dei risultati matematici generati dall’intelligenza artificiale, verranno divulgati anche il modello utilizzato, le parole specifiche e il tempo di calcolo.
Ma tra i 722 manoscritti rilasciati da OpenAI questa volta, sono stati annunciati solo dati complessivi come il "tempo medio di calcolo". Non sono state annunciate parole immediate e nessun modello è stato divulgato.
Il matematico del MIT Andrew Sutherland ha affermato: "A meno che non venga pubblicato il modello in modo che tutti possano riprodurlo, l'idea che un singolo agente possa risolvere il problema con un unico suggerimento dovrebbe essere considerata non dimostrata. Dovremmo chiedere di vedere la 'ricevuta'."
L'implicazione è che questi 722 manoscritti sono tutti "notizie false".
Il 7 ottobre, l'Associazione di studi umanistici e matematici menzionata all'inizio riteneva che "la pubblicazione di più di 700 documenti in una sola volta dimostra non accademici, ma una sorta di potere". Successivamente, l’associazione ha invitato i matematici a interrompere la collaborazione con OpenAI.
Naturalmente c'è un'altra voce. "Se vogliamo conoscere le risposte a questi problemi matematici, non vedo alcun motivo per chiedere alle aziende di nasconderle... Questa è una buona cosa per la matematica", ha detto Daniel Litt dell'Università di Toronto.
I matematici non possono verificare questi 722 manoscritti in breve tempo, quindi sperano di verificarli tramite Lean.
Lean è un "assistente alle prove" e un linguaggio di programmazione. I matematici devono tradurre ogni passaggio della dimostrazione in un linguaggio rigoroso che Lean possa comprendere. Il sistema Lean poi lo verifica passo dopo passo. Finché qualsiasi passaggio è ambiguo o saltato, fallirà. Una volta superata, la dimostrazione è quasi certamente logicamente priva di errori.
Secondo il catalogo pubblico, delle 372 famiglie risultanti riunite in 722 manoscritti, 235 hanno descrizioni formali Lean, pari a circa il 63%.
Ma Lean non è onnipotente. Il matematico Gil Kalai ha detto che potrebbero esserci problemi anche con la verifica di Lean. Ad esempio, quando si traduce un problema matematico in linguaggio Lean, se si verifica una deviazione nella traduzione stessa e la verifica della macchina passa, potrebbe non trattarsi del problema originale. Inoltre, Lean può solo confermare che è "logicamente irragionevole", ma non può giudicare se il risultato sia nuovo o prezioso.
Pertanto, il manoscritto n. 074, che non è formalizzato da Lean, può essere verificato solo da matematici.
Se il Manoscritto n. 074 verrà finalmente dimostrato corretto, si tratterà di un evento fondamentale nella storia della matematica.
Ci sono voluti più di 100 anni per portare il problema Kakeya a tre dimensioni, ma l'intelligenza artificiale ha fatto numerosi passi avanti in sole tre ore.
Allo stesso modo, alla fine si potrebbe scoprire che il manoscritto n. 074 è in realtà sbagliato.
In ultima analisi, una "prova" che gli esseri umani non possono verificare in un breve periodo di tempo dovrebbe essere definita una prova? Questo è il vero enigma lasciato alla comunità matematica.
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